พลศาสตร์ของไหล: แนวคิดของ Ludwig Prandtl
นำระบบไฮดรอลิกส์และอุทกพลศาสตร์มารวมกันเพื่อสร้างสนามใหม่
ข้อมูลสล็อตเว็บตรงไม่ผ่านเอเย่นต์ไม่มีขั้นต่ำเชิงลึกที่ไม่ธรรมดา: Ludwig Prandtl ในปี 1936 เครดิต: V. M. GHATAGE, 1936; ประธานเจ้าหน้าที่บริหาร DEPT AEROSPACE ENG., INDIAN INST. วิทย์.
ในเดือนสิงหาคม ค.ศ. 1904 Ludwig Prandtl ศาสตราจารย์ด้านกลศาสตร์วัย 29 ปีที่มหาวิทยาลัยเทคนิคฮันโนเวอร์ ได้นำเสนอบทความอันโดดเด่นที่งาน Third International Mathematical Congress ในเมืองไฮเดลเบิร์ก บทความนี้เป็นระเบิดเวลาทางวิทยาศาสตร์ โดยไม่ได้ส่งผลกระทบอย่างใหญ่หลวงต่อการประชุม และไม่ได้แปลเป็นภาษาอังกฤษจนถึงปี 1928 แต่ในช่วงทศวรรษ 1920 และ 1930 แนวคิดอันทรงพลังในกระดาษนั้นและชื่อเสียงของผู้แต่งได้แพร่กระจายไปทั่วโลก ช่วยสร้างไดนามิกของไหลที่ทันสมัยจากระบบไฮดรอลิกส์โบราณและอุทกพลศาสตร์ในศตวรรษที่สิบเก้า
เมื่อมองย้อนกลับไป กระดาษที่มีรูปถ่ายสิบสองรูปของการไหลของน้ำผ่านร่าง แผนภาพอื่นๆ อีก 10 แบบและสมการเพียง 8 สมการ นั้นเต็มไปด้วยความกล้าหาญ หัวใจของบทความนี้อยู่ในย่อหน้าเดียว คั่นกลางระหว่างคณิตศาสตร์เบื้องต้นและคำอธิบายที่สั้นแต่ครอบคลุมถึงพลังในการอธิบายของแนวคิด การอธิบายดังกล่าวครอบคลุมถึงการเกิดกระแสน้ำวนในชั้นผสม ด้านหลังกระบอกสูบ ที่ขอบของจานซึ่งเคลื่อนที่ตามปกติไปยังระนาบของมัน และอื่นๆ และเมื่อใดและเหตุใดจึงแยกจากพื้นผิวแข็งที่พวกมันควรจะตามมา
น้ำเสียงของย่อหน้าสำคัญนั้นดูไม่เป็นทางการ ปัญหาที่เป็นทางการที่จัดการคือการไหลผ่านแผ่นเรียบที่เรียงชิดกัน ซึ่งเป็นปัญหาเล็กน้อยในอุทกพลศาสตร์ที่มองไม่เห็น แต่มีความสำคัญต่อการเปลี่ยนแปลงของของไหลแบบใหม่ที่ถูกสร้างขึ้น อย่างแรก พารามิเตอร์ขนาดเล็ก ɛ ถูกระบุเพื่อแสดงถึงความหนืด หรือส่วนกลับของตัวเลข Reynolds ที่แม่นยำยิ่งขึ้น วิธีการก่อกวนแบบคลาสสิกจะไม่ทำงานที่นี่ เนื่องจากลิมิต ɛ → 0 เป็นเอกพจน์: ลิมิตของคำตอบเต็ม (เช่น ที่พื้นผิว) ไม่ใช่คำตอบของสมการจำกัด วิธีการของ Prandtl คือการแบ่งกระแสออกเป็นบริเวณต่างๆ ซึ่งไดนามิกต่างกัน — การไหลล่องหนด้านนอก และชั้นความหนืดด้านในบาง (‘ขอบเขต’) ถัดจากพื้นผิว ในแต่ละภูมิภาคจะมีการรวบรวมคำศัพท์เฉพาะในสมการเนเวียร์–สโตกส์เท่านั้น สมการสำหรับแต่ละภูมิภาคได้รับการแก้ไขแยกกัน แต่เงื่อนไขขอบเขตของพวกมันได้รับการคัดเลือกอย่างชาญฉลาดเพื่อให้สารละลายผสมกันเพื่อให้ได้ค่าประมาณ ‘รวมเป็นหนึ่ง’
ในย่อหน้าเดียวกันนั้น Prandtl
ยังแสดงให้เห็นว่าสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยบางส่วนที่ควบคุมเลเยอร์ขอบเขตสามารถลดลงเป็นสมการเชิงอนุพันธ์ธรรมดาหนึ่งสมการโดยใช้ตัวแปรอิสระร่วมกันได้อย่างไร และด้วยเหตุนี้จึงแก้สมการไม่เชิงเส้นที่เป็นผลลัพธ์ (ซึ่งไม่ได้เขียนไว้อย่างชัดเจนด้วยซ้ำ) เป็นตัวเลข และระบุค่าคร่าวๆ สำหรับการลากจานและภาพร่างของสารละลาย และเขาทำทั้งหมดนี้โดยใช้เพียง 25 บรรทัดเท่านั้น!
การคำนวณที่แม่นยำของการลากแผ่นเรียบแบบไหลราบเรียบเปิดประตูระหว่างห้องระบบไฮดรอลิกส์และอุทกพลศาสตร์ที่ปิดสนิทก่อนหน้านี้ ผู้ปฏิบัติงานสาขาวิชาเหล่านี้ต่างดูถูกกันและกันเป็นเวลานาน — ระบบไฮดรอลิกส์มักถูกเรียกว่าศาสตร์แห่งค่าคงที่ตัวแปร และอุทกพลศาสตร์เป็นคณิตศาสตร์ของน้ำแห้ง ความเป็นจริง Prandtl แสดงให้เห็น ไม่เพียงแต่อยู่ในขอบเขตของสมการเนเวียร์–สโตกส์เท่านั้น แต่ยังเข้าถึงคณิตศาสตร์ได้ด้วย
แนวคิดนี้ได้รับการพัฒนาและขยายผลในเวลาต่อมา โดยส่วนใหญ่มาจากนักเรียนที่รวมตัวกันเพื่อทำงานร่วมกับ Prandtl ในเมือง Göttingen ซึ่งนักคณิตศาสตร์ Felix Klein ช่วยเขาให้ก่อตั้งศูนย์วิจัยเกี่ยวกับพลศาสตร์ของไหลที่มีชื่อเสียง และทฤษฎีแสดงข้อตกลงที่ยอดเยี่ยมกับการทดลอง ทว่าน่าประหลาดใจที่มันถูกมองว่าเป็นเพียงการประมาณหรือ ‘แบบจำลอง’ ที่ชาญฉลาดและประสบความสำเร็จมาเกือบห้าทศวรรษแล้ว ในที่สุดก็เป็นงานของ Paco Lagerstrom และเพื่อนร่วมงานของเขาที่ Caltech ที่กลั่นกรอง ‘วิธีการขยาย asymptotic ที่ตรงกัน’ อย่างเป็นระบบ (MAX สำหรับระยะสั้น) เป็นแนวคิดทางคณิตศาสตร์ที่มีอยู่ในงานของ Prandtl ในกรณีที่ง่ายที่สุด MAX เกี่ยวข้องกับการศึกษาโซลูชันการจำกัดเป็น ɛ → 0 แยกจากกันในบริเวณด้านในและด้านนอก ทำให้ในแต่ละส่วนขยายเชิงเส้นกำกับที่เหมาะสมในสิ่งที่เรียกว่าตัวแปรภายในและภายนอก จับคู่การขยายทั้งสองโดยให้เท่ากัน (ตามลำดับที่เหมาะสม) ขีดจำกัดภายนอกของการขยายตัวภายในด้วยขีดจำกัดภายในของการขยายตัวภายนอก และในที่สุดก็สร้างโซลูชันแบบรวมศูนย์ (‘คอมโพสิต’) ที่ไม่มีการแสดงเส้นกำกับไปยังโซลูชันที่แน่นอน
การคำนวณทางคณิตศาสตร์อย่างเป็นทางการในการแก้ปัญหาการก่อกวนแบบเอกพจน์ทั้งชั้นมีผลสืบเนื่องที่สำคัญหลายประการ อันดับแรก มีการค้นพบว่าปริศนามากมาย (ตั้งแต่ความขัดแย้งอันโด่งดังของนักคณิตศาสตร์ Jean-le-Rond d’Alembert ไปจนถึงเรื่องอื่นๆ จากนั้นปรากฎว่าปัญหาอื่นๆ มากมายที่ Prandtl แก้ไขได้อย่างยอดเยี่ยม — เช่น finite wing ในแอโรไดนามิก — ก็มีพื้นฐานมาจากการใช้ MAX ด้วยเช่นกัน เมื่อ Milton van Dyke เขียนหนังสือเล่มแรกในหัวข้อนี้ เขาได้สวมมงกุฎ MAX ด้วยคำคุณศัพท์ ‘rational’ – แยกแยะความแตกต่างจากจำนวนเฉพาะที่ไม่สมเหตุสมผล การประมาณค่าและทฤษฎีต่างๆ ที่มากมายในพลวัตของไหล
Werner Heisenberg กล่าวว่า Prandtl มี “ความสามารถในการดูการแก้สมการโดยไม่ต้องผ่านการคำนวณ” Prandtl ปฏิเสธ “ไม่ ฉันพยายามที่จะสร้างภาพในใจของฉัน สมการจะมาในภายหลังเมื่อฉันเชื่อว่าฉันเข้าใจ… [และเป็น] วิธีที่ดีในการพิสูจน์ข้อสรุปของฉันในแบบที่ผู้อื่นยอมรับได้ ” เอกสารของเขามีความเรียบง่ายและตรงไปตรงมาที่เกิดจากความมั่นใจในตนเองสูงสุด พวกเขาไม่เป่าแตรความสำเร็จหรือวิพากษ์วิจารณ์ผู้อื่น แต่เพียงแค่แก้ไขปัญหาหลักโดยใช้เครื่องมือทั้งหมดที่มีอยู่ — การสังเกต (มากมาย) คณิตศาสตร์ การคำนวณ และการสร้างแบบจำลอง การผสมผสานระเบียบวิธีของ Prandtl กำหนดรูปแบบของการวิจัยพลวัตของไหลในศตวรรษที่ยี่สิบ ไม่น่าแปลกใจที่ G.I. Taylor เรียกเขาว่า ‘หัวหน้าของเรา’ และช่วยเสนอชื่อ Prandtl สำหรับรางวัลโนเบลที่เขาไม่เคยได้รับรางวัลสล็อตเว็บตรงไม่ผ่านเอเย่นต์ไม่มีขั้นต่ำ
